LUCRO:CONCEITO E EXEMPLOS

                                 LUCRO

* Noção de compra e venda de mercadoria

Todo comerciante compra uma certa mercadoria por um determinado preço, que é chamado de preço de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi passada ao mercado consumidor.

Em tutoriais anteriores, estudamos sobre porcentagem e juros, e agora iremos aplicar alguns conhecimentos para tratar deste assunto.

Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra e venda de mercadorias, temos os seguintes casos distintos:

» porcentagem (%) sobre venda

» porcentagem (%) sobre custo

E porque ter noção desta distinção?? Ela se torna muito importante na resolução de problemas envolvendo dinheiro.

* Porcentagem sobre o preço de custo

Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou prejuízo) é calculado, em bases percentuais, em cima do preço de custo do produto adquirido, temos o que é chamado de porcentagem sobre o custo.

Este é o processo normal, e que é usado e adotado no mercado comercial.

Desta forma, se um comerciante ou pessoa física, compra um determinado produto por um valor de R$ 200,00 (preço de custo) e este for ser revendido com um lucro de 30%, isto quer dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação é de R$ 30,00 (lucro) para cada valor de R$ 100,00 do preço do custo.

Acompanhe o raciocínio:

Através de um cálculo da regra de três (já estudado anteriormente), temos:

R$ 200,00          ---------------                 100%

X                        ---------------                   30%

X =  200 . 30

          100

X = 6000 

       100

X = R$ 60,00 (valor do lucro total na operação)

Em toda operação, envolvendo problemas relacionados com porcentagem sobre o custo do produto, as partes obrigatórios de cálculos na operação são:

» Venda

» Custo

» Lucro (ou prejuízo, conforme operação)

Para que haja uma memorização melhor sobre estes elementos fundamentais de cálculo sobre porcentagem de custo, observe:

C      = CUSTO

V      = VENDA

L       = LUCRO

P       = PREJUÍZO

* Exercícios para fixar conteúdo sobre CUSTO, VENDA, LUCRO E PREJUÍZO

Para uma melhor compreensão do tema acima, veremos como resolver os problemas abaixo.

Vale lembrar que estes exercícios são base para estudos para provas em concursos. É necessário exercitar os fundamentos aprendidos para uma melhor performance, ainda mais em  se tratando de matemática, onde a prática é essencial.

Para poder resolver os problemas citados com facilidade, basta saber as seguintes questões:

- o preço de custo (ou preço de compra) é sempre igual a 100% (cem por cento)

- a venda do produto (com prejuízo na operação) é sempre igual ao preço de custo menos o prejuízo, da seguinte forma:

C – P = V                         ou                V = C – P

100% - 30% = 70%                                             70% = 100% - 30%

- a venda do produto (com lucro na operação) é sempre igual à soma do custo mais o lucro, da seguinte forma:

C + L = V                         ou                V = C + L;

100% + 30% = 130%                              130% = 100% + 30%

a) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 700,00, para se ter um lucro final de 15%?

Solução:

C * L = V     »     100% + 15%  = 115%

R$ 700,00   ----------     100% (custo da operação)

X                 ----------     115% (venda da operação)

X = 115 . 700

         100

X = 10.500/100 = R$ 805,00

O valor do produto será de R$ 805,00

b) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 300,00, para se ter um lucro final de 50%?

Solução:

C * L = V     »     100% + 50%  = 150%

R$ 300,00   ----------     100% (custo da operação)

X                 ----------     150% (venda da operação)

X = 150 . 300

         100

X = 45000/100 = R$ 450,00

O valor do produto será de R$ 450,00

c) Uma pessoa vendeu um automóvel pelo valor de R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte por cento) sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta operação?

Solução:

C + L = V   » 100% + 20% = 120%

25.000 ----------     120% (venda da operação)

X          ----------     20% (lucro da operação)

X = 25.000 . 20

        120

X = 500.000 / 120 = R$ 4.166,67 (valor arredondado)

O lucro da operação foi de R$ 4.166,67

c) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%. Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operação foi de R$ 250,00.

Solução:

C + L = V   -à 100% + 35% = 135%

250    ----------     35% (lucro da operação)

X        ----------     135% (venda da operação)

X = 135 . 250

        35

X = 33.750 / 35 = R$ 964,29 (valor arredondado)

O valor da venda foi de R$ 964,29

d) Uma casa foi comprada por R$ 20.000,00, e revendida em sucessivos negócios com lucros seqüentes de 15%, 25% e 30%. Nesta operação, qual foi o último preço de venda da casa??

Solução:

1ª operação de venda (15% de lucro) ### C + L = V --à 100% + 15% = 115%

20.000 -----  100% (custo da operação)

X          -----  110% (venda da operação)

X = 20.000 . 110 / 100 = R$ 22.000,00

2ª operação de venda (25% de lucro) ### C + L = V --à 100% + 25% = 125%

(valor da casa R$ 22.000,00)

22.000 -----  100% (custo da operação)

X          -----  125% (venda da operação)

X = 22.000 . 125 / 100 = R$ 27.500,00

3ª operação de venda (30% de lucro) ### C + L = V --à 100% + 30% = 130%

(valor da casa R$ 27.500,00)

27.500 -----  100% (custo da operação)

X          -----  130% (venda da operação)

X = 27.500 . 130 / 100 = R$ 35.750,00

O valor final da casa foi de R$ 35.750,00

e) Uma pessoa vendeu um aparelho de som que custou R$ 1.200,00 com 40% de prejuízo sobre o custo. Qual foi o prejuízo desta operação??

Solução:

1.200          -----  100% (custo da operação)

X                 -----    40% (prejuízo da operação)

X = 1.200 . 40

         100

X = 48000 / 100 = R$ 480,00

O prejuízo desta operação foi de R$ 480,00.

 

Desconto Simples Comercial ou Bancário.

 

 

    Um dos modelos de juros simples mais utilizados no mercado financeiro é o chamado juro antecipado, juro adiantado, desconto de títulos ou simplesmente desconto bancário. Este é o modelo utilizado na modalidade de desconto e também por empresas de factoring, bem como em transações de curto prazo quando o pagamento for efetuado em uma única parcela, inclusive para cálculo de preço de venda.

Este modelo consiste em calcular o Valor Presente descontando do Valor Futuro (Valor de Face) uma parcela igual ao produto do Valor Futuro pela “taxa de juros” e pelo número de períodos até o vencimento do título negociado. (KUHNEN, 2008).

1.6.1 Fórmulas

Valor do Desconto Simples Comercial

Valor Presente com Desconto Simples Comercial

Valor Futuro com Desconto Simples Comercial

 

  

Número de Períodos com Desconto Simples Comercial

 

  

Taxa de Desconto Simples Comercial

 

  

1.6.2 Exemplos

1)   (CRESPO, 2002). Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:

a)   O valor do desconto comercial;

b) O valor atual comercial.

Solução:

a)

 

  

b)

 

2)   (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?

Solução:

3)   (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata.

Solução:

            

 

DESCONTO RACIONAL:CONCEITO E EXEMPLOS

Desconto Racional

    O desconto simples racional (D_r) também chamado de desconto por dentro ou desconto real é equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
Na pratica, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo do desconto racional porque, o desconto composto está ligado a esse conceito. (CRESPO, 2002).


1.7.1 Fórmulas

Valor do Desconto Simples Racional
 
 
Valor Presente com Desconto Simples Racional
 
 
Valor Futuro com Desconto Simples Racional
 
 
Número de Períodos com Desconto Simples Racional
 
 
Taxa de Desconto Simples Racional
 
  

1.7.2 Exemplos

1)   (ASSAF NETO, 2001). Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.

Solução:
Desconto
 
 
Valor Descontado
 


2)   (ASSAF NETO, 2001). Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de regate igual a R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.

Solução:

 

MONTANTE:CONCEITO E EXEMPLOS

                           Montante

 

Montante (também conhecido como valor acumulado) é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo. Para se chegar a essa conclusão através de uma relação direta pode se fazer uso do seguinte:
P = C + ( t • i • C) onde,

P = Montante
C = Capital
t = tempo de investimento
i = taxa de juro

Observações: Perceba que se a taxa de juros for mensal o tempo deverá ser descrito em meses, e assim por diante, os dois devem estar na mesma unidade de tempo.
Além disso outra informação muito importante e que as vezes passa por despercebido é o a taxa de juros (i) deve estar em forma decimal e não em percentual.

---

Exemplo:

Um Capital (C) de R$20.000 é aplicado durante o período (t) de 6 meses a uma taxa de juros (i) de 10% ao mês, qual o montante ao final do período de investimento?

P = C + ( t • i • C ) =>

P = 20000 + ( 0,10 • 6 • 20000 ) =>

P = 20000 + ( 12000 ) =>

P = 32000

Por tanto, o montante será de R$32.000

---

Perceba que dessa relação que definimos podemos ainda definir o que seria somente o valor ganho no período, basta retirarmos o Capital (C) da adição, assim ficaria:
G = t • i • C onde,

G = Ganho no Período
t = tempo de investimento
i = taxa de juros
C = Capital Investido  Capital

     O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

JUROS COMPOSTOS:CONCEITO E EXEMPLOS

 

JUROS COMPOSTOS

    O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

    Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:
    1º mês: M =P.(1 + i)
    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
    3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
    Simplificando, obtemos a fórmula:
  

M = P . (1 +  i)n

    Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
    Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
  

J = M - P

    Exemplo:
   Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
  (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
   Resolução:
   P = R$6.000,00
    t = 1 ano = 12 meses
    i = 3,5 % a.m. = 0,035
    M = ?
  
   Usando a fórmula M=P.(1+i)ⁿ, obtemos:
   M  =  6000.(1+0,035)¹²  =  6000. (1,035)¹²
    Fazendo  x = 1,035¹² e aplicando logaritmos, encontramos:
   log x = log 1,035¹²    =>   log x = 12 log 1,035    =>   log x = 0,1788    =>   x = 1,509
   Então  M = 6000.1,509 = 9054.

    Portanto o montante é R$9.054,00

JUROS SIMPLES:CONCEITOS E EXEMPLOS

Juros Simples

 

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalização no sistema de juros simples.

No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:

J = C * i * t, onde

J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)

M = C + J

M = montante final
C = capital
J = juros

Exemplo 1

Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?

Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses

J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240

M = C + j
M = 1200 + 240
M = 1440

O montante produzido será de R$ 1.440,00.

Exemplo 2

Vamos construir uma planilha especificando passo a passo a aplicação de um capital durante o período estabelecido inicialmente.

Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensais de 3% ao mês durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do montante final da aplicação.



O montante final foi equivalente a R$ 6.800,00, e os juros produzidos foram iguais a R$ 1.800,00.


Exemplo 3

Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.

J = C * i * t
2688 = C * 0,06 * 14
2688 = C * 0,84
C = 2688 / 0,84
C = 3200

O valor do capital é de R$ 3.200,00.


Exemplo 4

Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias?

J = 3000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 45 dias = 45/30 = 1,5

J = C * i * t
3000 = C * 0,015 * 1,5
3000 = C * 0,0225
C = 3000 / 0,0225
C = 133.333,33

O capital é de R$ 133.333,33.

Exemplo 5

Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?

J = C * i * t
90 = C * 0,02 * 3
90 = C * 0,06
C = 90 / 0,06
C = 1500

O capital corresponde a R$ 1.500,00.


Exemplo 6

Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?

M = C * [1 + (i *t)]
2C = C * [1 + (0,02 * t)]
2C = C * 1 + 0,02t
2C/C = 1 + 0,02t
2 = 1 + 0,02t
2 – 1 = 0,02t
1 = 0,02t
t = 1 / 0,02
t = 50

O tempo para que o capital aplicado a uma taxa mensal de 2% dobre é de 50 meses.

PORCENTAGEM:CONCEITO E EXEMPLOS

Porcentagem

A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatística possui participação ativa na apresentação de dados comparativos e organizacionais.Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal (denominador igual a 100) e quando escritos de maneira formal devem aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os números a seguir, eles serão demonstrados através das três formas possíveis:

A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à porcentagem é com a utilização de exemplos que envolvem situações cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir:

Exemplo 1

Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual o preço da mercadoria na compra à vista?

Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal correspondente.
12% = 12/100 = 0,12

Utilizando razão centesimal
12/100 x 900 = 12x900/100 = 1080/100 = 10800/100 = 108 reais
900 – 108 = 792 reais

Utilizando número decimal
0,12 x 900 = 108 reais
900 – 108 = 792 reais

A utilização de qualquer procedimento fica a critério próprio, pois os dois métodos chegam ao resultado de forma satisfatória e exata. No caso do exemplo 1, o desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00, portanto o preço é de R$ 792,00.

Exemplo 2

O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o valor do depósito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um salário bruto de R$ 1.200,00.

8% = 8/100 = 0,08

Utilizando razão centesimal
8/100 x 1200 = 8x1200 / 100 = 9600 / 100 = 96 reais

Utilizando número decimal
0,08 x 1200 = 96 reais

O depósito efetuado será de R$ 96,00.


Exemplo 3

Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta.

Podemos utilizar uma regra de três simples.

Alunos → 13 ---------- 52
Porcentagem → x ----------- 100%

52*x = 13*100
52x = 1300
x= 1300/52
x = 25%

Portanto, 25% dos alunos utilizam bicicletas.
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REGRA DE TRÊS:CONCEITO E EXEMPLOS

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
        Exemplos:
        1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?
        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas	Caminhões	Volume
8	20	160
5	x	125

        Identificação dos tipos de relação:
        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

        A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
        Observe que:
        Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

        Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

---

        2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
        Solução: montando a tabela:

Homens	Carrinhos	Dias
8	20	5
4	x	16

        Observe que:
        Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

        Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

---

        3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exemplos práticos

Na análise de como iremos resolver um problema através da regra de três composta, deve-se levar em conta se as grandezas relacionadas são diretamente ou inversamente proporcionais. Vejamos a seguir como na prática estas duas situações se comportam.

[editar] Exemplo 1

Temos o seguinte enunciado: "O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 50 operários para fazer 10 estantes em 5 dias, mas sabendo ele que para fazer as estantes tem apenas dois dias, de quantos operários vai precisar?". Para resolver este problema adotaremos a seguinte lógica:
a) Vamos elaborar um esquema onde “x” é a incógnita.

Estantes	Operários	Dias
10	50	5
10	x	2

b) Se aumentarmos ( ↓ ) o número de operários, fazem-se mais ( ↓ ) ou menos ( ↑ ) estantes? Caso tenha respondido que fazem-se mais ↓ , você acertou! Agora vamos assinalar no quadro.

Estantes	Operários
10	50
↓	↓
10	x

c) Se aumentarmos ( ↓ ) o número de operários, precisa-se de mais ( ↓ ) ou menos ( ↑ ) dias? Claro que é menos ( ↑ ). Vamos assinalar no quadro.

Operários	Dias
50	5
↓	↑
x	2

d) O quadro final e completo fica assim.

Estantes	Operários	Dias
10	50	5
↓	↓	↑
10	x	2

e) Vamos criar e resolver a equação.

Atenção que o número de dias foi invertido porque se trata de uma grandeza inversamente proporcional.
Fazendo as contas:
A carpintaria precisará de 125 operários.

• Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³?

Horas	Caminhões	Areia em m³
8	20	160
5	x	125

Sempre onde estiver x a seta é para baixo, ou seja, diretamente proporcional. Ela pode estar em qualquer posição ou lugar. Sempre a seta é para baixo. Ficará assim. Montando a proporção e resolvendo, ficará assim. Então, serão necessários 25 caminhões.

[editar] Transformando regra de três composta em regra de três simples

Uma maneira fácil (sem precisar decorar regras) de resolver uma regra de três composta é transformá-la em regra de três simples, tomando o cuidado de usar o que for diretamente proporcional.

Por exemplo:

a quantidade de dias é inversamente proporcional à quantidade de operários

a quantidade de estantes é diretamente proporcional à quantidade de operários

Então não se deve armar a regra de três simples com a quantidade de dias.

Deve-se armar a regra de três simples com a quantidade de estantes fabricadas por dia.

Exemplo: "O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 40 operários para fazer 10 estantes em 5 dias. Quantas estantes ele fabricará em oito dias, sabendo ele que só poderá usar 30 empregados?"
Solução:
40 operários produzem 10/5 = 2 estantes por dia
Os 30 operários farão x/8 estantes por dia

• Armando a regra de três simples:

40 - 2

30 - x/8

40.x/8 = 30x2

40x/8=60

5x=60

x=60/5

x=12 estantes 

REGRA DE TRÊS SIMPLES:CONCEITO E EXEMPLOS

Regra de três simples

Regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais

A regra de três simples relaciona duas grandezas diferentes através de uma proporcionalidade entre elas. Temos duas possibilidades para essa proporcionalidade entre as grandezas: Grandezas Diretamente Proporcionais  E Grandezas Inversamente Proporcionais. Veremos como realizar os cálculos utilizando a regra de três simples de grandezas que são diretamente proporcionais.
Na regra de três simples, teremos 2 valores para cada grandeza, totalizando 4 valores, entretanto um destes será determinado pelos cálculos que são feitos na regra de três. Apesar de se tratar de simples cálculos a regra de três possui vasta aplicabilidade, desde situações reais de nosso cotidiano até conceitos científicos da Física e Química.
Para que a regra de três seja aplicada com sucesso é de fundamental importância analisar a relação das grandezas e determinar se são diretamente ou inversamente proporcionais, pois isto garante o sucesso deste procedimento.
Vejamos alguns exemplos:
1) Pedro precisa ler alguns livros para o vestibular, e notou que em 3 horas de leitura conseguiu ler 70 páginas. Caso ele mantenha este mesmo ritmo, quantas páginas ele conseguirá ler em um período de 6 horas?

Devemos analisar as grandezas. Se eu leio por uma quantidade maior de tempo, certamente aumentarei a quantidade de páginas lidas, portanto são grandezas diretamente proporcionais, sendo assim não precisamos inverter nenhuma das razões.

Veja que a incógnita x, corresponde a grandeza da quantidade de páginas, portanto durante 6 horas Pedro conseguirá ler 140 páginas.
2) Robson deseja reformar a cozinha de sua casa e foi até a loja de materiais de construção que comprou o material para a reforma do seu banheiro. Ele notou que o azulejo está o mesmo preço de quando ele reformou o banheiro, sabendo que o banheiro dele mede 3metros de largura e 4metros de comprimento e que o total gasto foi de R$150 reais em azulejos, quanto ele gastará para colocar o mesmo tipo de azulejo na sua cozinha que possui as seguintes medidas: 5 metros de largura e 6 metros de comprimento.
Devemos analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Temos duas grandezas: Área a ser revestida pelo azulejo e Dinheiro gasto para compra do azulejo. Fica evidente que se formos revestir uma área maior, iremos gastar maior quantidade de azulejo que por sua vez levará em um maior gasto financeiro. Portanto as duas grandezas são diretamente proporcionais.

 

 

Grandezas Inversamente Proporcionais

A velocidade é um tipo de grandeza

 Tudo aquilo que pode ser medido ou contado é considerado uma grandeza. Podemos considerar como grandeza as circunstâncias que evolvem comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, idade e etc. Entendemos por grandezas inversamente proporcionais as situações onde ocorrem operações inversas, isto é, se dobramos uma grandeza, a outra é reduzida à metade. Um exemplo típico de grandezas inversas são o tempo e a velocidade. Observe o exemplo a seguir:

A distância entre duas cidades é de aproximadamente 200 km. Um veículo com velocidade média de 50 km/h gastou 4 horas para fazer esse percurso. Caso ele dobrasse a velocidade, o tempo gasto seria de 2 horas. Nesse caso observamos que ao aumentar a velocidade do automóvel, o tempo da viagem diminui. Veja a tabela:

Isso acontece porque velocidade e tempo são inversamente proporcionais.


Exemplo 2

Para encher um tanque são necessárias 60 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 2 litros cada uma, quantas serão necessárias?




A capacidade da vasilha foi diminuída três vezes, dessa forma, necessitaremos de 180 vasilhas. Portanto, as grandezas vasilhas e capacidade da vasilha são inversamente proporcionais, pois à medida que a capacidade diminui, o número de vasilhas aumenta.

Exemplo 3

Pedro deseja realizar sua festa de aniversário e para isso irá comprar 20 latas de refrigerante com capacidade de 200 ml cada uma, no intuito de evitar desperdício. Caso ele opte por comprar latas de 600 ml, quantas ele deverá comprar?

Observe que ele irá comprar 30 latas de 200 ml cada, resultando em 6000 ml (6 litros). Caso a capacidade da lata aumente, ele deverá comprar uma quantidade menor de latas afim de não ultrapassar os 6 litros previstos. A capacidade da lata aumentou em três vezes e a quantidade de lata foi dividida por três, constituindo grandezas inversamente proporcionais.

 

Grandezas Diretamente Proporcionais

Cálculo das proporções

A definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Como exemplo citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, idade e etc.
As grandezas diretamente proporcionais estão ligadas de modo que à medida que uma grandeza aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional.
Para o melhor entendimento vamos citar alguns exemplos básicos.

Exemplo 1

Uma costureira gasta 1,40 metros de tecido na confecção de uma bermuda. Caso ela queira confeccionar cinco bermudas, quantos metros de tecido serão gastos?
Resolução:
A situação é um típico problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais. A costureira irá gastar 7 metros de tecido, pois 1,40 x 5 = 7. À medida que o número de bermudas aumenta, a quantidade de tecido aumenta de forma diretamente proporcional.


Exemplo 2

Um automóvel percorre 300 km com 25 litros de combustível. Caso o proprietário desse automóvel queira percorrer 120 km, quantos litros de combustível serão gastos?
Resolução:
Vamos estabelecer uma ordem de raciocínio lógico calculando quantos quilômetros este veículo percorre com exatamente 1 litro de combustível. Para isso basta dividirmos 300 por 25, que resulta em 12 km por litro.
Agora basta dividir 120 km por 12 km, resultando em 10 litros, que é a quantidade de combustível necessária para percorrer 120 km.

Observe a ideia de grandeza diretamente proporcional: se aumentamos o percurso gastamos mais combustível, isso implica em dizer que, se diminuímos o percurso gastamos menos combustível.


Exemplo 3

Em uma gráfica, certa impressora imprime 100 folhas em 5 minutos. Quantos minutos ela gastará para imprimir 1000 folhas?
Resolução:
A tabela abaixo pode ser construída a fim de relacionar as grandezas folhas e minutos, auxiliando nos cálculos.

Folhas	Minutos
100	5
x10	x10
1000	50

De acordo com a tabela percebemos que o tempo gasto para imprimir 1000 folhas é de 50 minutos, pois ao multiplicar o número de folhas por 10 devemos multiplicar o tempo por 10. Isso ocorre porque as grandezas são diretamente proporcionais.

proporção:conceito e exemplos

Proporção

Proporção

Podemos definir proporção como a igualdade entre duas razões. As proporções são muito utilizadas nas situações envolvendo proporcionalidade direta ou inversa. Para determinarmos se duas razões são proporcionais podemos aplicar a regra fundamental das proporções, que diz: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. Veja:

Exemplo 1
Determine o valor de x na proporção a seguir.

Exemplo 2
Calcule o valor de x na proporção .

3*(4x – 2) = 4*(2x – 1)
12x – 6 = 8x – 4
12x – 8x = – 4 + 6
4x = 2
x = 2/4
x = 1/2


A proporção também é muito utilizada nas situações envolvendo porcentagem.
Exemplo 3
Um fogão que custava R$ 1 400,00 estava sendo vendido em uma promoção por
R$ 980,00. Qual era o desconto em porcentagem?

Resolução:
Valor do desconto: 1400 – 980 = 420

O desconto corresponde a 30%.

As proporções constituem a base dos cálculos envolvendo regra de três simples e composta. Observe um exemplo de proporção na resolução da seguinte situação problema utilizando regra de três.

Exemplo 4
Para cada 6 automóveis que vende, Pedro ganha R$ 200,00 de comissão. Quanto ele recebeu de comissão no mês em que vendeu 15 automóveis?

comissão (R$)	automóveis
200	6
x	15

No mês em que ele vendeu 15 carros recebeu uma comissão de R$ 500,00.

 

razão:conceitos e exemplos

O Conceito de Razão

Razãoº exemplo
 

Definimos razão como a relação entre dois números, dizemos que a razão entre a e b, onde b ≠ 0, pode ser escrito na forma a/b. Os conhecimentos envolvendo razão levam a situações que envolvem proporcionalidade direta ou inversa. Suponhamos que em uma sala de aula existam 20 meninas e 25 meninos, dessa forma podemos expressar a razão entre o número de alunos na seguinte ordem:

* razão entre o número de meninos e o número de meninas: 25/20 

*razão entre o número de meninas e o número de meninos: 20/25

A razão também pode ser expressa utilizando números decimais, aproveitando o exemplo citado temos:
25/20 = 1,25
20/25 = 0,8

A notação de porcentagem é outro exemplo de razão, nesse caso chamada de razão centesimal. Os números seguidos do símbolo de porcentagem (%) podem ser escritos nas seguintes formas:

1% = 1/100 = 0,01
25% = 25/100 = 1/4 = 0,25
30% = 30/100 = 3/10 = 0,3
10% = 10/100 = 1/10 = 0,1
15% = 15/100 = 3/20 = 0,15
110% = 110/100 = 11/10 = 1,1


Em um campeonato de futebol foram marcados 620 gols no total, sendo que a equipe campeã marcou 65 gols e sofreu 20. O artilheiro da equipe balançou as redes adversárias 30 vezes. De acordo com os dados da equipe vencedora, estabeleça:

1º exemplo
 A razão entre o número de gols marcados pela equipe e o número total de gols do campeonato.
65/620 = 13/124 ~ 0,1048 ou 10,48% 

2º exemplo
b) A razão entre o número de gols marcados pelo artilheiro e o número de gols da equipe no campeonato.
30/65 = 6/13 ~ 0,4615 ou 46,15% 

 3º exemplo
c) A razão entre o número de gols sofridos e o número de gols marcados pela equipe.
20/65 = 4/13 ~ 0,3077 ou 30,76%


A razão tem por objetivo relacionar dados de certas situações, oferecendo parâmetros de comparação através de números percentuais.