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quarta-feira, 14 de novembro de 2012

REGRA DE TRÊS:CONCEITO E EXEMPLOS

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
        Exemplos:
        1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
        Identificação dos tipos de relação:
        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
regra3_9.gif (1192 bytes)
        A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
        Observe que:
        Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
        Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
regra3_10.gif (1291 bytes) regra3_11.gif (2147 bytes)
Logo, serão necessários 25 caminhões.

        2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
        Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
        Observe que:
        Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
        Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
regra3_12.gif (1320 bytes)
Logo, serão montados 32 carrinhos.

        3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
regra3_13.gif (1894 bytes)
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
regra3_14.gif (2375 bytes)
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exemplos práticos

Na análise de como iremos resolver um problema através da regra de três composta, deve-se levar em conta se as grandezas relacionadas são diretamente ou inversamente proporcionais. Vejamos a seguir como na prática estas duas situações se comportam.

[editar] Exemplo 1

Temos o seguinte enunciado: "O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 50 operários para fazer 10 estantes em 5 dias, mas sabendo ele que para fazer as estantes tem apenas dois dias, de quantos operários vai precisar?". Para resolver este problema adotaremos a seguinte lógica:
a) Vamos elaborar um esquema onde “x” é a incógnita.
Estantes Operários Dias
10 50 5
10 x 2
b) Se aumentarmos ( ↓ ) o número de operários, fazem-se mais ( ↓ ) ou menos ( ↑ ) estantes? Caso tenha respondido que fazem-se mais ↓ , você acertou! Agora vamos assinalar no quadro.
Estantes Operários
10 50
10 x
c) Se aumentarmos ( ↓ ) o número de operários, precisa-se de mais ( ↓ ) ou menos ( ↑ ) dias? Claro que é menos ( ↑ ). Vamos assinalar no quadro.
Operários Dias
50 5
x 2
d) O quadro final e completo fica assim.
Estantes Operários Dias
10 50 5
10 x 2
e) Vamos criar e resolver a equação.
\,\!\frac{50}{x} = \frac{10}{10}\times \frac{2}{5}
Atenção que o número de dias foi invertido porque se trata de uma grandeza inversamente proporcional.
Fazendo as contas:
\,\!\frac{50}{x} = \frac{2}{5} \,\!x = \frac{50 \times 5}{2} \,\!x = 125
A carpintaria precisará de 125 operários.
  • Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³?
Horas Caminhões Areia em m³
8 20 160
5 x 125
Sempre onde estiver x a seta é para baixo, ou seja, diretamente proporcional. Ela pode estar em qualquer posição ou lugar. Sempre a seta é para baixo. Ficará assim. Montando a proporção e resolvendo, ficará assim. Então, serão necessários 25 caminhões.

[editar] Transformando regra de três composta em regra de três simples

Uma maneira fácil (sem precisar decorar regras) de resolver uma regra de três composta é transformá-la em regra de três simples, tomando o cuidado de usar o que for diretamente proporcional.
Por exemplo:
a quantidade de dias é inversamente proporcional à quantidade de operários
a quantidade de estantes é diretamente proporcional à quantidade de operários
Então não se deve armar a regra de três simples com a quantidade de dias.
Deve-se armar a regra de três simples com a quantidade de estantes fabricadas por dia.
Exemplo: "O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 40 operários para fazer 10 estantes em 5 dias. Quantas estantes ele fabricará em oito dias, sabendo ele que só poderá usar 30 empregados?"
Solução:
40 operários produzem 10/5 = 2 estantes por dia
Os 30 operários farão x/8 estantes por dia
  • Armando a regra de três simples:
40 - 2
30 - x/8
40.x/8 = 30x2
40x/8=60
5x=60
x=60/5
x=12 estantes 

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